Hochschulmathematik - Funktionen, Vektoren, Analysis, Lineare Algebra & Differentialgleichungen, Formelsalat? 🧩

Question 1

Eine Folge differenzierbarer Funktionen f_n auf [-1,1] konvergiert gleichmäßig gegen f. Ist f notwendigerweise differenzierbar?

Accepted Answer

Nein, nicht notwendigerweise – z. B. f_n(x)=√(x²+1/n) konvergiert gleichmäßig gegen |x|, das in 0 nicht differenzierbar ist.

Answer

Ja, Gleichmäßige Konvergenz der f_n reicht immer für Differenzierbarkeit von f.

Answer

Ja, falls alle f_n stetig sind reicht das bereits.

Answer

Ja, wenn f_n nur punktweise differenzierbar sind, dann ist auch f differenzierbar.

Question 2

Seien u,v ∈ R³ mit u × v = 0. Was folgt zwingend?

Accepted Answer

u und v sind linear abhängig (parallel oder einer ist der Nullvektor).

Answer

u und v sind orthogonal.

Answer

u und v haben dieselbe Länge.

Answer

u und v müssen beide der Nullvektor sein.

Question 3

Welche zusätzliche Bedingung garantiert, dass für eine Folge differenzierbarer Funktionen f_n auf [a,b] gilt: lim_{n→∞} f_n' = (lim_{n→∞} f_n)'?

Accepted Answer

Die Ableitungen f_n' konvergieren gleichmäßig auf [a,b] und es gibt ein x0 mit konvergenten f_n(x0).

Answer

Die Ableitungen f_n' konvergieren nur punktweise auf [a,b].

Answer

Die Funktionen f_n konvergieren gleichmäßig allein reicht aus.

Answer

Es reicht, dass die f_n' nur beschränkt sind.

Question 4

Welche Aussage über reelle symmetrische Matrizen A (A^T = A) trifft zu?

Accepted Answer

Alle Eigenwerte sind reell und A ist orthogonal diagonalisierbar (es gibt O mit O^T A O = Diagonalmatrix).

Answer

Symmetrische Matrizen haben notwendigerweise komplexe Eigenwerte.

Answer

Symmetrische Matrizen sind stets invertierbar.

Answer

Für alle v ∈ R^n gilt v^T A v = 0.

Question 5

Was ist die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y'' - 4y' + 4y = 0 ?

Accepted Answer

y(x) = (C1 + C2 x) e^{2x}

Answer

y(x) = C1 e^{2x} + C2 e^{2x}

Answer

y(x) = (C1 + C2 x^2) e^{2x}

Answer

y(x) = C1 e^{2x} + C2 e^{-2x}

Question 6

Welche Voraussetzung an ein Gebiet Ω ⊂ R³ ist typischerweise nötig, damit der Gaußsche Integralsatz (Divergenzsatz) gilt?

Accepted Answer

Ω sollte kompakt sein mit stückweise glattem Rand ∂Ω (z. B. endlich viele glatte Flächenteile).

Answer

Ω muss offen und unbeschränkt sein.

Answer

Ω darf beliebig wilden, fraktalen Rand haben.

Answer

Ω muss nur aus einem einzelnen Punkt bestehen.

Question 7

Betrachte die Potenzreihe ∑_{n=0}^∞ n! x^n. Wie groß ist ihr Konvergenzradius R?

Accepted Answer

R = 0

Answer

R = 1

Answer

R = ∞

Answer

R = e

Question 8

Welche Aussage über die Matrixexponentialfunktion e^{tA} (A ist eine feste n×n-Matrix) ist korrekt?

Accepted Answer

X(t) = e^{tA} ist die eindeutige Lösung der Matrix-ODE X' = A X mit Anfangsbedingung X(0) = I.

Answer

e^{tA} = I + tA (für alle A und alle t), weil man höhere Potenzen vernachlässigen kann.

Answer

e^{tA} ist nur definiert, wenn A diagonalisierbar ist.

Answer

e^{tA} ist stets eine endliche Summe, da A^k für große k verschwindet.

Dozenten-Vermittlung