Mathematische Methoden 2 - Wenn Nullstellen nicht nur im Lebenslauf stehen?

Question 1

Welche Bedingung muss für den Zwischenwertsatz reichen, damit eine reelle Nullstelle von f im Intervall [a,b] garantiert existiert?

Accepted Answer

Die Funktion muss stetig sein und f(a) * f(b) <= 0.

Answer

Die Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Der Funktionswert muss an beiden Endpunkten positiv sein.

Answer

Die Nullstelle muss einfach sein.

Question 2

Bei der Newton-Verfahren zur Nullstelle einer Funktion f mit f'(r) ≠ 0 gilt welche Aussage als lokal gültig?

Accepted Answer

Sie konvergiert lokal, wenn der Startwert nahe der Nullstelle liegt und f'(r) ≠ 0.

Answer

Die Methode konvergiert immer unabhängig vom Startwert.

Answer

Die Methode konvergiert garantiert nur für quadratische Funktionen.

Answer

Sie liefert immer nur eine Nullstelle des Polynoms.

Question 3

Eine Nullstelle r hat Vielfachheit m > 1. Welche Aussage trifft zu über das Konvergenzverhalten von Newtons Methode?

Accepted Answer

Newton konvergiert linear.

Answer

Newton konvergiert quadratisch.

Answer

Newton konvergiert nicht zuverlässig und findet keine Nullstelle.

Answer

Die Nullstelle verschwindet, wenn man ausreichend oft ableitet.

Question 4

Welche Bedingung erfüllt das Rolle-Theorem (Rolle's Theorem) als Voraussetzung?

Accepted Answer

f ist stetig auf [a,b], differenzierbar auf (a,b) und f(a) = f(b).

Answer

f ist stetig auf [a,b], differenzierbar auf (a,b) und f(a) ≠ f(b).

Answer

f' ist stetig auf [a,b].

Answer

f muss mindestens eine einfache Nullstelle haben.

Question 5

Welche Regel liefert eine Obergrenze für die Anzahl positiver Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten?

Accepted Answer

Descartes' Regel der Vorzeichen

Answer

Bolzanoscher Satz

Answer

Viète'sche Nullstellenformel

Answer

L'Hospital-Regel

Question 6

Wie viele reelle Nullstellen kann ein Polynom 4. Grades maximal haben?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

6

Answer

8

Question 7

Wozu dient das Horner-Verfahren?

Accepted Answer

Zur schnellen Auswertung eines Polynoms an einer Stelle x und zur Bestimmung des Restes bei Division durch (x - r).

Answer

Zur Lösung von Differentialgleichungen.

Answer

Zur Integration von Polynomen.

Answer

Zur Faktorisierung von Polynomen in irreduzible Faktoren.

Question 8

Bei einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit m = 2 verhält sich der Graph der Funktion wie folgt?

Accepted Answer

Die Funktion berührt die x-Achse und das Vorzeichen ändert sich nicht.

Answer

Das Vorzeichen ändert sich.

Answer

Die Funktion springt über die Achse.

Answer

Die Nullstelle verschwindet.

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