Numerik - FEM, FDM, Konvergenz und Stabilität?

Question 1

Was besagt das Lax-Gleichheitstheorem in der Numerik linearer Initialwertprobleme?

Accepted Answer

Eine konsistente Finite-Differenzen-Schemen müssen stabil sein, damit sie konvergieren.

Answer

Nur Konsistenz garantiert Konvergenz unabhängig von der Stabilität.

Answer

Stabilität allein genügt, Konsistenz ist irrelevant.

Answer

Konvergenz erfolgt immer unabhängig von Konsistenz und Stabilität.

Question 2

Welche Stabilitätsbedingung gilt für das explizite FDM der 1D-Wärmegleichung ∂u/∂t = α ∂²u/∂x²?

Accepted Answer

dt ≤ dx² / (2α)

Answer

dt ≤ dx / (2α)

Answer

dt ≥ dx² / (α)

Answer

dt ≥ 2α / dx²

Question 3

Im FEM-Galerkin-Verfahren für elliptische PDEs führt die Verwendung von Testfunktionen aus derselben Funktionenspace typischerweise zu welcher Eigenschaft der Stiffness-Matrix?

Accepted Answer

Die Bilinearform ist symmetrisch und die Matrix ist SPD (symmetric positive definite).

Answer

Die Matrix wird zwangsläufig unsymmetrisch.

Answer

Es hat keinen Einfluss auf Stabilität oder Konvergenz.

Answer

Die Matrix wird generell nicht deterministisch.

Question 4

Was bedeutet Konsistenz eines diskreten Schemas?

Accepted Answer

Der Diskretisierungsfehler verschwindet, wenn Gittergröße h und Zeit-Schritt Δt gegen Null gehen.

Answer

Die Methode ist stabil für alle Δt.

Answer

Die Lösung entspricht exakt der analytischen Lösung.

Answer

Die Kosten hängen nicht von der Schrittweite ab.

Question 5

Welche Aussage trifft typischerweise zu den Konvergenzraten von FDM im Vergleich zu FEM bei glatten Lösungen in 2D?

Accepted Answer

FEM mit Polynomgrad p erreicht in L2 die Ordnung h^(p+1) und in H1 die Ordnung h^p, unter Regularität der Lösung.

Answer

FDM liefert in der Regel immer höhere Konvergenzordnungen als FEM.

Answer

Beide Methoden erreichen identische Konvergenzraten in allen Normen.

Answer

FDM kann niemals Konvergenz erreichen.

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